Question

（本小题满分12分）

在如图所示的几何体中，平面，∥，是的中点，

，，．

（Ⅰ）证明 平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值．

   图7

Answer

略

【解析】解法一（Ⅰ）取的中点，连结、．

因为∥，∥，所以∥．

又因为，，所以．

所以四边形是平行四边形，∥．                    ……分

在等腰中，是的中点，所以．

因为平面，平面，所以．

而，所以平面．

又因为∥，所以平面．                        ……分

（Ⅱ）因为平面，平面，所以平面平面．

过点作于，则平面，所以．

过点作于，连结，则平面，所以．

所以是二面角的平面角．                                      ……分

在中，．

因为，所以是等边三角形．又，所以

 ，．

在中，．

所以二面角的余弦值是．                                              ……分

解法二  （Ⅰ）因为平面，∥，所以平面．

故以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则

相关各点的坐标分别是，，，

，，．         ……分                   

所以，，．

因为，，

所以，．而，所以平面． ……分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，．

设是平面的一个法向量，由 得

即．取，则．

设是平面的一个法向量，由 得

即．取，，则．

                                                                                                           ……分

设二面角的大小为，则

．                             

故二面角的余弦值是．       ……分