Question

(本题满分18分，其中第1小题4分，第2小题6分，第,3小题8分)

一青蛙从点开始依次水平向右和竖直向上跳动，其落点坐标依次是，(如图所示，坐标以已知条件为准)，表示青蛙从点到点所经过的路程。

(1) 若点为抛物线准线上

一点，点，均在该抛物线上，并且直线经

过该抛物线的焦点，证明.

(2)若点要么落在所表示的曲线上，

要么落在所表示的曲线上，并且,

试写出（不需证明）；

(3)若点要么落在所表示的曲线上，要么落在所表示的曲线上，并且，求的表达式.

Answer

【解析】
(1)设，由于青蛙依次向右向上跳动，

所以，，由抛物线定义知：             分

(2) 依题意，

随着的增大，点无限接近点                             分

横向路程之和无限接近，纵向路程之和无限接近        分

所以 =                                               分

(3)方法一：设点，由题意，的坐标满足如下递推关系：，且

其中                  分

∴，即，

∴是以为首项，为公差的等差数列，

∴，

所以当为偶数时，，于是，

又

∴当为奇数时，         分

当为偶数时，

当为奇数时，

所以，当为偶数时，

当为奇数时，

所以，                         分

方法二：由题意知      

其中

观察规律可知：下标为奇数的点的纵坐标为首项为，公比为的等比数列。相邻横坐标之差为首项为2，公差为1的等差数列。下标为偶数的点也有此规律。并由数学归纳法可以证明。                                                               分

所以，当为偶数时，

当为奇数时，                              

当为偶数时，

当为奇数时，     分

所以，                      分

【解析】略