Question

（本题满分16分）定义，，…，的“倒平均数”为（）．已知数列前项的“倒平均数”为，记（）．

（1）比较与的大小；

（2）设函数，对（1）中的数列，是否存在实数，使得当时，对任意恒成立？若存在，求出最大的实数；若不存在，说明理由．

（3）设数列满足，（且），（且），且是周期为的周期数列，设为前项的“倒平均数”，求．

Answer

（1）设数列的前项和为，由题意得，

所以，……（1分）

当时，，当时，，而也满足此式．

所以（）．……（1分）

所以，……（1分）

，因此．……（1分）

（2）假设存在实数，使得当时，对任意恒成立，

即对任意恒成立，……（2分）

由（1）知数列是递增数列，所以只要，即，（2分）

解得或．……（1分）

所以存在最大的实数，使得当时，对任意恒成立．…（1分）

（3）由，，得，……（1分）

① 若，则，，，因为周期为，故，所以，所以，（舍），故．

此时，为，，，，，，…．符合题意．……（1分）

② 若，则，，因为周期为，故，

所以，即或，解得或，均不合题意．…（1分）

设数列的前项和为，则对，有……（1分）

即 所以 因此．（2分）

【解析】略