Question

（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分.

已知的三个顶点在抛物线:上运动，

（1）. 求的焦点坐标；

（2）. 若点在坐标原点， 且 ，点在上，且  ，

求点的轨迹方程；

（3）. 试研究: 是否存在一条边所在直线的斜率为的正三角形，若存在，求出这个正三角形的边长，若不存在，说明理由.

Answer

(1) 【解】. 由得 所以,焦点坐标为 ……3分

(2) 【解1】设点的坐标为,边所在的方程为(显然存在的),与抛物线交于                 

则得,                    ……5分

又点在抛物线上,故有,

   或(舍)

 -------①                                            ……7分

又的斜率为,则有  ,既代入①

故点轨迹为  (注:没写扣1分)        ……9分

另解:由上式①过定点, ,

所以, ,  既

【解2】设点的坐标为,方程为,由得方程为

,则得,  同理可得

方程为恒过定点,

  ,

 所以, ,  既

(注:没写扣1分)

（其他解法,可根据【解1】的评分标准给分）

(3) 【解1】

若存在边所在直线的斜率为的正三角形,设,

(其中不妨设),  则 ,    ------①  ……11分

令,则,即

将①代入得,,                                

   -----------------②                          ……13分

  线段的中点为,由①, ②得的横坐标为,

的纵坐标为                  ……15分

又设 由得

                                                                  点在抛物线上,则,即,

又因为 ,                                           ……18分

设,

的三边所在直线的斜率分别是

   ------①     ……12分

若边所在直线的斜率为,边所在直线和轴的正方向所成角为

,则,

所以                                          ……14分

即-----②    

又--------------③                             ……16分

所以,

将②, ③代入上式得边长                                       ……18分

（其他解法,可根据【解1】的评分标准给分）

【解析】略