Question

(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.

设，对于项数为的有穷数列，令为中最大值，称数列为的“创新数列”．例如数列3，5，4，7的创新数列为3，5，5，7．

考查自然数的所有排列，将每种排列都视为一个有穷数列．

（1）若，写出创新数列为3，4，4，4的所有数列；

（2）是否存在数列的创新数列为等比数列？若存在，求出符合条件的创新数列；若不存在，请说明理由．

（3）是否存在数列，使它的创新数列为等差数列？若存在，求出满足所有条件的数列的个数；若不存在，请说明理由．

Answer

【解析】
（1）由题意，创新数列为3，4，4，4的所有数列有两个，即3，4，1，2和

3，4，2，1．              ……………（每写出一个给2分，多写不得分）4分

（2）存在数列的创新数列为等比数列．……………………………………5分

设数列的创新数列为，

因为为前个自然数中最大的一个，所以．   ……………………6分

若为等比数列，设公比为，因为，所以．…7分

当时，为常数列满足条件，即为数列

（或写通项公式）；    ……………………………………9分

当时，为增数列，符合条件的数列只能是，又不满足等比数列．综上符合条件的创新数列只有一个．              ……………………10分

（3）存在数列，使它的创新数列为等差数列，     ……………………11分

设数列的创新数列为，因为为前个自然数中最大的一个，所以．

若为等差数列，设公差为，

因为，所以．且  ……………………12分

当时，为常数列满足条件，即为数列（或写通项公式），

此时数列是首项为的任意一个排列，共有个数列；      ……………14分

当时，符合条件的数列只能是，此时数列是，有1个；                                                     ……………………15分

当时， 又

这与矛盾，所以此时不存在。    …………17分

综上满足条件的数列的个数为个（或回答个）．  …………18分

【解析】略