Question

(本题满分16分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分10分．

　　已知两点、，点是直角坐标平面上的动点，若将点的横坐标保持不变、纵坐标扩大到倍后得到点满足．

(1) 求动点所在曲线的轨迹方程；

(2)(理科)过点作斜率为的直线交曲线于两点，且满足，又点关于原点O的对称点为点，试问四点是否共圆，若共圆，求出圆心坐标和半径；若不共圆，请说明理由．

(文科)过点作斜率为的直线交曲线于两点，且满足(O为坐标原点)，试判断点是否在曲线上，并说明理由．

Answer

解(1)依据题意，有．

∵，

∴．

∴动点P所在曲线C的轨迹方程是．

(2)(理科)因直线过点，且斜率为，

故有．联立方程组，得．

设两曲线的交点为、，可算得．

又，点与点关于原点对称，

于是，可得点、．

若线段、的中垂线分别为和，则有，．

联立方程组，解得和的交点为．

因此，可算得，

．

所以，四点共圆，圆心坐标为，半径为．

【解析】略