Question

(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．

已知函数．

(1) 试说明函数的图像是由函数的图像经过怎样的变换得到的；

(2) (理科)若函数，试判断函数的奇偶性，并用反证法证明函数的最小正周期是；

 (3) 求函数的单调区间和值域．

Answer

解(1)∵

，     

∴．

∴函数的图像可由的图像按如下方式变换得到：

①将函数的图像向右平移个单位，得到函数的图像；

②将函数的图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到函数的图像；

③将函数的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到函数的图像．

(2)(理科)由(1)知，，

∴．

  又对任意，有，

∴函数是偶函数．

∵，

∴是周期函数，是它的一个周期．

现用反证法证明是函数的最小正周期。

反证法：假设不是函数的最小正周期，设是的最小正周期．

则，即．

令，得，两边平方后化简，得，这与()矛盾．因此，假设不成立．

所以，函数的最小正周期是．

 (3)(理科)先求函数在一个周期内的单调区间和函数值的取值范围。

当时，，且．

易知，此时函数的单调增区间是，单调减区间是；

函数的取值范围是．

因此，依据周期函数的性质，可知函数的单调增区间是

；单调减区间是；

函数的值域是．

【解析】横坐标先放缩，再平移也可．即将函数的图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到函数，再将函数的图像向右平移个单位，得到函数的图像，最后将函数的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到函数的图像．