Question

（本小题满分12分）如图，在直三棱柱中，平面侧面．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）若直线与平面所成角是，锐二面角的平面角是，试判断与的大小关系，并予以证明．

Answer

本小题满分12分）

（I）

证明：如图，过点A在平面A1ABB1内作AD⊥A1B于D，

则由平面A1BC⊥侧面A1ABB1于A1B，

得AD⊥平面A1BC，        ………………（2分）

又BC平面A1BC，∴AD⊥BC.

在直三棱柱ABC—A1B1C1中，

AA1⊥底面ABC，∴AA1⊥BC. ………………（4分）

又AA1∩AD=A，从而BC⊥侧面A1ABB1，

又AB侧面A1ABB1，故AB⊥BC；…………（6分）

（II）

方法1：连接CD，则由（I）知是直线AC与平面A1BC所成的角，

                                           ………………（8分）

是二面角A1—BC—A的平面角，即，

                                           ………………（10分）

在Rt△ADC中， ，在Rt△ADB中，，

由AC AB，得又所以

                                           ………………（12分）

方法2：设AA1=a，AB=b，BC=c，由（I）知，以点B为坐标原点，以BC、BA、BB1所在

的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则 B(0，0，0)， A(0，b，0)，C(c，0，0)，，b，a)，

∴(c，0，0)，( 0，b，a)，…………（7分）

( c，-b，0)，设平面A1BC的一个，

由，得，取， ……………（9分）

∴，            

∵平面ABC的法向量为( 0，0，a)，∵二面角A1—BC—A的平面角是锐角，

∴，

                              ……………（10分）

∵，∴，，

∵，∴．                     ………………（12分）

【解析】略