Question

（12分）在三棱锥S-ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2，M、N分别为AB、SB的中点。

（Ⅰ）证明：AC⊥SB；

（Ⅱ）求二面角N-CM-B的余弦值；

Answer

解：解法一：（Ⅰ）取AC中点D，连结SD、DB.

∵SA=SC，AB=BC，

∴AC⊥SD且AC⊥BD，……………………2分

∴AC⊥平面SDB，又SB平面SDB，

∴AC⊥SB.……………………………………4分

（Ⅱ）∵AC⊥平面SDB，AC平面ABC，

∴平面SDB⊥平面ABC.

过N作NE⊥BD于E，NE⊥平面ABC，过E作EF⊥CM于F，连结NF，

则NF⊥CM.

∴∠NFE为二面角N-CM-B的平面角.……………6分

∵平面SAC⊥平面ABC，SD⊥AC，∴SD⊥平面ABC.

又∵NE⊥平面ABC，∴NE∥SD.

∵SN=NB，∴NE=SD===，且ED=EB.

在正△ABC中，由平几知识可求得EF=MB=，

在Rt△NEF中，tan∠NFE==2，∠NFE=

∴二面角N-CM-B的余弦值为.………………………………8分

（Ⅲ）在Rt△NEF中，NF==，

∴S△CMN=CM·NF=，S△CMB=BM·CM=2.……………………10分

设点B到平面CMN的距离为h，

∵VB-CMN=VN-CMB，NE⊥平面CMB，∴S△CMN·h=S△CMB·NE，

∴h==.即点B到平面CMN的距离为.………12分

解法二：（Ⅰ）取AC中点O，连结OS、OB.∵SA=SC，AB=BC，

∴AC⊥SO且AC⊥BO.

∵平面SAC⊥平面ABC，平面SAC∩平面ABC=AC

∴SO⊥面ABC，∴SO⊥BO.

如图所示建立空间直角坐标系O-xyz.………………………………2分

则A（2，0，0），B（0，2，0），

C（-2，0，0），S（0，0，2），

M(1，，0)，N(0，，).

∴=（-4，0，0），=（0，2，2），

∵·=（-4，0，0）·（0，2，2）=0，……3分

∴AC⊥SB.………………………………………………………4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得=（3，，0)，=（-1，0，）.设n=（x，y，z）为平面CMN的一个法向量，

      ·n=3x+y=0，

       ·n=-x+z=0，              则 取z=1，则x=，y=-，…… 6分

∴n=(，-，1)，

又=(0，0，2)为平面ABC的一个法向量，

∴cos(n，)==.………………………………………………7分

∴二面角N-CM-B的余弦值为.………………………………………………8分

（Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）得=（-1，，0），n=（，-，1）为平面CMN的一个法向量，∴点B到平面CMN的距离d==.……………………………12

【解析】略