Question

19．（本小题满分12分）

如图，四棱锥的底面为菱形，平面，

，分别为的中点，．

（Ⅰ）求证：平面平面．

（Ⅱ）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．

Answer

证明：（Ⅰ）∵四边形是菱形，

∴．在中，，，

∴．∴，即．

又，            ∴．...............................................2分

∵平面，平面，∴．又∵，

∴平面，...................................4分

又∵平面，    ∴平面平面．   ........................................6分

（Ⅱ）解法一：由（1）知平面，而平面，

∴平面平面  ...................................................................6分

∵平面，∴．

由（Ⅰ）知，又

∴平面，又平面，

∴平面平面．

∴平面是平面与平面的公垂面．..........................................8分

所以，就是平面与平面所成的锐二面角的平面角．..........................9分

在中，，即．....................10分

又，∴．

所以，平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．.........................12分

理（Ⅱ）解法二：以为原点，、分别为轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示．因为，，所以，

、、、，

则，，．...............7分

由（Ⅰ）知平面，

故平面的一个法向量为．.....................................8分

设平面的一个法向量为，

则 ，即，令，

则．     ..........................................10分

∴．

所以，平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．...............................12分

【解析】略