Question

已知正项数列{a_n}，其前n项和S_n满足10S_n=a_n²+5a_n+6且a₁,a₃,a₁₅成等比数列，求数列{a_n}的通项a_n

Answer

∵10Sn=an2+5an+6， ①  

∴10a1=a12+5a1+6，解之得a1=2或a1=3  —————————————— 2分

又10Sn－1=an－12+5an－1+6(n≥2)，②

 由①－②得 10an=(an2－an－12)+6(an－an－1)，即(an+an－1)(an－an－1－5)=0 

∵an+an－1>0  ， ∴an－an－1=5 (n≥2)   -------------------------------6分

当a1=3时，a3=13，a15=73   a1， a3，a15不成等比数列∴a1≠3;-----------8分

当a1=2时， a3=12， a15=72， 有 a32=a1a15 ， ∴a1=2， ∴an=5n－3

【解析】略