Question

（本小题共12分）已知函数，其中．

（I）若函数有三个不同零点，求的取值范围；

（II）若函数在区间上不是单调函数，求的取值范围.

Answer

解: （I）因为，所以函数有三个不同零点的充要条件是关于的方程有两个不相等的非零实根，…………1分

即，且.

故的取值范围是…………5分

（II）解法一：，函数在区间上不是单调函数的充要条件是关于的方程有两个不相等的实数根，且至少有一个实数根在区间内. …………7分

（2）若，则.

方程的两个实根均不在区间内，所以…………8分

（3）若，则.

方程在区间内有实根，所以可以为…………9分

（4）若方程有一个实根在区间内，另一个实根在区间外，

则，即…………10分

（5）若方程在区间内有两个不相等的实根，则

………11分

综合①②③④得的取值范围是…………12分

（II）解法二：，

函数在区间上不是单调函数的充要条件是关于的方程

在区间上有实根且…………7分

关于的方程在区间上有实根的充要条件是

使得…………8分

使得

令有，记

…………10分

则函数在上单调递减，在上单调递增，所以有

即.…………11分

又由 得且

故的取值范围是…………12分

（II）解法三：记函数在区间上的最大值为，

最小值为

函数f(x)在区间上不单调函数f(x)在区间上不单调

…………7分

因为函数的图像是开口向上、对称轴为的抛物线，

所以，

…………9分

当时，，

……11分

     故的取值范围是……12分

【解析】略