Question

(本小题满分12分）

已知函数（），其中．

（1）当时，讨论函数的单调性；

（2）若函数仅在处有极值，求的取值范围；

（3）若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围．

Answer

【解析】
（1）．      

当时，．令，解得，，． 当变化时，，的变化情况如下表：

0

2

－

0

＋

0

－

0

＋

↘

极小值

↗

极大值

↘

极小值

↗

所以在，内是增函数，在，内是减函数．

   （2），显然不是方程的根．

为使仅在处有极值，必须恒成立，即有．

解此不等式，得．这时，是唯一极值．

因此满足条件的的取值范围是．

   （3）由条件及（II）可知，．

从而恒成立．

当时，；当时，．

因此函数在上的最大值是与两者中的较大者．

为使对任意的，不等式在上恒成立，当且仅当，

即，在上恒成立．所以．

因此满足条件的的取值范围是．

【解析】略