Question

（本题满分12分）已知函数．

   （I）讨论的单调性；

   （II）设，证明：当时，；

   （III）若函数的图像与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为x₀，证明：（x₀）＜0．

Answer

   【解析】
（I） 

   （i）若单调增加.

   （ii）若

且当

所以单调增加，在单调减少.  ………………4分

   （II）设函数则

当.

故当，   ………………………8分

   （III）由（I）可得，当的图像与x轴至多有一个交点，

故，从而的最大值为

不妨设

由（II）得

从而

由（I）知，   …………………………………………12分

【解析】略