Question

（本小题共14分）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，AC=BC，M，N分别是CC1，AB的中点．

（Ⅰ）求证：CN⊥AB1；

（Ⅱ）求证：CN //平面AB1M．

Answer

证明：（Ⅰ）因为三棱柱ABC-A1B1C1中CC1⊥底面ABC，

    所以BB1⊥平面ABC，   所以BB1⊥CN．…………………1分

    因为AC=BC，N是AB的中点，

    所以CN⊥AB．                     ……………………3分

因为AB∩BB1=B，                   ……………………4分

所以CN⊥平面AB B1A1．            ……………………5分

所以CN⊥AB1．                     ……………………6分

（Ⅱ）（方法一）连结A1B交AB1于P．    ……………………7分

因为三棱柱ABC-A1B1C1，

所以P是A1B的中点．

因为M，N分别是CC1，AB的中点，

所以NP // CM，且NP = CM，         ……………………9分

所以四边形MCNP是平行四边形，    ……………………10分

所以CN//MP．                     ……………………11分

因为CN平面AB1M，MP平面AB1M，  ………………12分

所以CN //平面AB1M．              ……………………14分

（方法二）取BB1中点P，连结NP，CP． ……………………7分

因为N，P分别是AB，BB1的中点，

所以NP //AB1．

因为NP平面AB1M，AB1平面AB1M，

所以NP //平面AB1M．              ……………………10分

同理 CP //平面AB1M．              ……………………11分

因为CP∩NP =P，

所以平面CNP //平面AB1M．        ……………………13分

因为CN平面CNP，

所以CN //平面AB1M．             ……………………14分

【解析】略