Question

（本小题共14分）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，AC=BC=2，，CC1=4，M是棱CC1上一点．

（Ⅰ）求证：BC⊥AM；

（Ⅱ）若M，N分别是CC1，AB的中点，求证：CN //平面AB1M；

（Ⅲ）若，求二面角A-MB1-C的大小．

Answer

证明：（Ⅰ）因为三棱柱ABC-A1B1C1中CC1⊥平面ABC，

所以CC1⊥BC．                     ……………………1分

    因为AC=BC=2，，

    所以由勾股定理的逆定理知BC⊥AC．  ……………………2分

    因为AC∩CC1=C，

所以BC⊥平面ACC1A1．              ……………………3分

因为AM平面ACC1A1，

所以BC⊥AM．                      ……………………4分

（Ⅱ）连结A1B交AB1于P．              ……………………5分

因为三棱柱ABC-A1B1C1，

所以P是A1B的中点．

因为M，N分别是CC1，AB的中点，

所以NP // CM，且NP = CM，

所以四边形MCNP是平行四边形，      ……………………6分

所以CN//MP．                      ……………………7分

因为CN平面AB1M，MP平面AB1M，   ………………8分

所以CN //平面AB1M．               ……………………9分

（Ⅲ）因为BC⊥AC，且CC1⊥平面ABC，

以C为原点，CA，CB，CC1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系C-xyz．

    因为，所以C（0,0,0），A（2,0,0），B1（0,2,4），，，

    ．                                          ……………………10分

设平面的法向量，则，．

    即          ……………………11分

    令，则，即．

    又平面MB1C的一个法向量是，

所以．   ………………12分

由图可知二面角A-MB1-C为锐角，

所以二面角A-MB1-C的大小为．                  ……………………14分

【解析】略