Question

．（本小题共13分）在平面直角坐标系xOy中，为坐标原点，动点与两个定点，的距离之比为．

（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；

（Ⅱ）若直线：与曲线交于，两点，在曲线上是否存在一点，使得，若存在，求出此时直线的斜率；若不存在，说明理由．

Answer

【解析】
（Ⅰ）设点的坐标为，依题意，，         ………1分

    即 ，                   ……………………3分

    化简得．

    所以动点的轨迹的方程为．             ……………………5分

（Ⅱ）因为直线：与曲线相交于，两点，

    所以 ，

所以或．             ……………………7分

    假设存在点，使得．                  ……………………8分

    因为，在圆上，且，

    由向量加法的平行四边形法则可知四边形为菱形，

    所以与互相垂直且平分，                      …………9分

    所以原点到直线：的距离为．…………10分

    即 ，解得， ，经验证满足条件．……………………12分

    所以存在点，使得．                    ……………………13分

【解析】略