Question

已知函数．

（1）求函数的单调区间；

（2）当时，

（I）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称．证明当时，;

（II）如果，且，证明．

Answer

【解】（1）．令，则．

当a>0时，当变化时，的变化情况如下表：

增

极大值

减

所以在区间内是增函数，在区间内是减函数．

当a<0时，

减

极小值

增

所以在区间内是减函数，在区间内是增函数． (4分)

（2）（I）因为函数的图象与函数的图象关于直线对称，

所以，于是．

记，则，，

当时，，从而，又，所以，

于是函数在区间上是增函数．

因为，所以，当时，．因此．（9分）

（II） ① 若，由（1）及,得,与矛盾；

 ②若，由由（1）及,得,与矛盾；

根据①，②可得．不妨设．

由（2）可知，所以．

因为，所以，又，由（1），在区间内是增函数，

所以 ，即． （14分）

【解析】略