Question

（本题满分13分）

如图，一个圆形游戏转盘被分成6个均匀的扇形区域．用力旋转转盘，转盘停止转动时，箭头A所指区域的数字就是每次游戏所得的分数（箭头指向两个区域的边界时重新转动），且箭头A指向每个区域的可能性都是相等的．在一次家庭抽奖的活动中，要求每个家庭派一位儿童和一位成人先后分别转动一次游戏转盘，得分情况记为（假设儿童和成人的得分互不影响，且每个家庭只能参加一次活动）．

（Ⅰ）求某个家庭得分为的概率？

（Ⅱ）若游戏规定：一个家庭的得分为参与游戏的两人得分之和，且得分大于等于8的家庭可以获得一份奖品．请问某个家庭获奖的概率为多少？

（Ⅲ）若共有5个家庭参加家庭抽奖活动．在（Ⅱ）的条件下，记获奖的家庭数为，求的分布列及数学期望．

Answer

【解析】
（Ⅰ）记事件A：某个家庭得分情况为．

     ．                               

     所以某个家庭得分情况为的概率为．……………………………… 4分

      （Ⅱ）记事件B：某个家庭在游戏中获奖，则符合获奖条件的得分包括 共3类情况．

        所以．

        所以某个家庭获奖的概率为．    ………………………………………… 8分

   （Ⅲ）由（Ⅱ）可知，每个家庭获奖的概率都是，所以．

   ，

   ，

，

，

，

.       ………………………………… 11分

   所以分布列为：

0

1

2

3

4

5

   所以．

所以的数学期望为．          ……………………………………………… 13分

【解析】略