Question

如图，矩形与梯形所在的平面互相垂直，，∥，，，为的中点．

    （Ⅰ）求证：∥平面；

    （Ⅱ）求证：平面平面；

    （Ⅲ）若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．

Answer

【解析】
（Ⅰ）证明：取中点，连结．

在△中，分别为的中点，

所以∥，且．

由已知∥，，

所以∥，且．

               所以四边形为平行四边形．                 ………2分

所以∥．

又因为平面，且平面，

所以∥平面．        ………………………………4分

（Ⅱ）证明：在矩形中，．

又因为平面平面，

              且平面平面，

所以平面．

所以．                ………………………………5分

在直角梯形中，，，可得．

在△中，，

因为，所以．

因为,所以平面．………………………7分

又因为平面，

所以平面平面．…………………………………………8分

        （Ⅲ）【解析】
由（Ⅱ）知平面，且．

           以为原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系．

           ．     …………………………………9分

      易知平面的一个法向量为．…………………………10分

      设为平面的一个法向量，

         因为

        所以，

        令，得．

        所以为平面的一个法向量．   …………………………12分

    设平面与平面所成锐二面角为．

    则．

       所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为．………14分

【解析】略