Question

对于给定数列，如果存在实常数,使得对于任意都成立，我们称数列是 “类数列”．

   （Ⅰ）若，，，数列、是否为“类数列”？若是，指出它对应的实常数，若不是，请说明理由；

   （Ⅱ）证明：若数列是“类数列”，则数列也是“类数列”；

   （Ⅲ）若数列满足，，为常数．求数列前2012项的和．并判断是否为“类数列”，说明理由．

Answer

【解析】
（Ⅰ）因为则有

        故数列是“类数列”，对应的实常数分别为    …………… 1分

        因为，则有，.

        故数列是“类数列”，对应的实常数分别为.   …………… 3分

        （Ⅱ）证明：若数列是“类数列”，则存在实常数，

        使得对于任意都成立，

        且有对于任意都成立，            

        因此对于任意都成立，

        故数列也是“类数列”．                        

        对应的实常数分别为．                           ……………6分

   （Ⅲ）因为  则有，，    

    故数列前2012项的和

        +++

       ……………9分

    若数列是“类数列”， 则存在实常数

      使得对于任意都成立，

      且有对于任意都成立，

      因此对于任意都成立，

      而，且，

      则有对于任意都成立，可以得到

         ，

      当时，，，，经检验满足条件.

      当 时，，，经检验满足条件.

      因此当且仅当或时，数列是“类数列”.

      对应的实常数分别为或．               ………………… 13分

【解析】略