Question

（本小题满分13分）已知数列.如果数列满足，，其中，则称为的“衍生数列”.

（Ⅰ）写出数列的“衍生数列”；

（Ⅱ）若为偶数，且的“衍生数列”是，证明：；

（Ⅲ）若为奇数，且的“衍生数列”是，的“衍生数列”是，….依次将数

列，，，…的首项取出，构成数列.证明：是等差数列.

Answer

（Ⅰ）【解析】
.                      ………………3分

（Ⅱ）证明： 因为 ，

，

，

……

，

由于为偶数，将上述个等式中的第这个式子都乘以，相加得

      即，.                                     ………………8分

（Ⅲ）证明：对于数列及其“衍生数列”，

因为 ，

，

，

……

，

由于为奇数，将上述个等式中的第这个式子都乘以，

相加得

      即.

设数列的“衍生数列”为，

因为 ，，

所以 ，   即成等差数列.       ………………12分

同理可证，也成等差数列.

从而是等差数列.             ………………13分

【解析】略