Question

（本小题满分13分）已知数列.如果数列满足，，其中，则称为的“衍生数列”.

（Ⅰ）若数列的“衍生数列”是，求；

（Ⅱ）若为偶数，且的“衍生数列”是，证明：的“衍生数列”是；

（Ⅲ）若为奇数，且的“衍生数列”是，的“衍生数列”是，….依次将数列，，，…的第项取出，构成数列.证明：是等差数列.

Answer

（Ⅰ）【解析】
.                  ………………3分

（Ⅱ）证法一：

证明：由已知，，.

因此，猜想.                          ………………4分

① 当时，，猜想成立；

② 假设时，.

当时，

故当时猜想也成立.

由 ①、② 可知，对于任意正整数，有. ………………7分

设数列的“衍生数列”为，则由以上结论可知

，其中.

由于为偶数，所以，

所以 ，其中.

因此，数列即是数列.                                 ………………9分

证法二：

因为 ，

，

，

……

，

由于为偶数，将上述个等式中的第这个式子都乘以，相加得

      即，.                                     ………………7分

由于，，

根据“衍生数列”的定义知，数列是的“衍生数列”.     ………………9分

（Ⅲ）证法一：

证明：设数列,,中后者是前者的“衍生数列”.欲证成等差数列，只需证明成等差数列，即只要证明即可.   ……10分

由（Ⅱ）中结论可知 ，

，

所以，，即成等差数列，

所以是等差数列.                                        ………………13分

证法二：

因为 ，

所以 .

所以欲证成等差数列，只需证明成等差数列即可.        ………………10分

对于数列及其“衍生数列”，

因为 ，

，

，

……

，

由于为奇数，将上述个等式中的第这个式子都乘以，

相加得

      即.

设数列的“衍生数列”为，

因为 ，，

所以 ， 即成等差数列.                                   

同理可证，也成等差数列.

即 是等差数列.

所以 成等差数列.                                      ………………13分

【解析】略