Question

（本小题满分14分）

已知函数，如果存在给定的实数对（），使得恒成立，则称为“S-函数”.

（Ⅰ）判断函数是否是“S-函数”；

（Ⅱ）若是一个“S-函数”，求出所有满足条件的有序实数对；

（Ⅲ）若定义域为的函数是“S-函数”，且存在满足条件的有序实数对和，当时，的值域为，求当时函数的值域.

Answer

【解析】
（Ⅰ）若是“S-函数”，则存在常数，使得 (a+x)(a-x)=b.

即x2=a2-b时，对xÎR恒成立.而x2=a2-b最多有两个解，矛盾，

因此不是“S-函数”.……………………2分

若是“S-函数”，则存在常数a,b使得，

即存在常数对（a, 32a）满足.

因此是“S-函数”……………4分

（Ⅱ）是一个“S-函数”，设有序实数对（a, b）满足:

则tan(a-x)tan(a+x)=b恒成立.

当a=时，tan(a-x)tan(a+x)= -cot2(x)，不是常数…5分

因此，,

则有.

即恒成立.     ……7分

即,

当,时，tan(a-x)tan(a+x)=cot2(a)=1.

因此满足是一个“S-函数”的常数（a, b）=.…9分

(Ⅲ) 函数是“S-函数”，且存在满足条件的有序实数对和，

于是

即,

 ，.……………………10分

 ……11分

因此,  ……………………………………13分

综上可知当时函数的值域为.……………14分

【解析】略