Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥底面ABC，AC=BC=2，，CC₁=4，M是棱CC₁上一点

（Ⅰ）求证：BC⊥AM；

（Ⅱ）若M，N分别是CC₁，AB的中点，求证：CN //平面AB₁M；

（Ⅲ）若，求二面角A-MB₁-C的大小．

Answer

证明：（Ⅰ）因为三棱柱ABC-A1B1C1中CC1⊥平面ABC，

所以CC1⊥BC．        ……………………1分

因为AC=BC=2，，

所以由勾股定理的逆定理知BC⊥AC．  ……………………2分

因为AC∩CC1=C，

所以BC⊥平面ACC1A1．      ……………………3分

因为AM平面ACC1A1，

所以BC⊥AM．              ……………………4分

（Ⅱ）连结A1B交AB1于P．      ……………………5分

因为三棱柱ABC-A1B1C1，

所以P是A1B的中点．

因为M，N分别是CC1，AB的中点，

所以NP // CM，且NP = CM，

所以四边形MCNP是平行四边形，……………………6分

所以CN//MP．                       ……………………7分

因为CN平面AB1M，MP平面AB1M，   ………………8分

所以CN //平面AB1M．                ……………………9分

（Ⅲ）因为BC⊥AC，且CC1⊥平面ABC，

    以C为原点，CA，CB，CC1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系C-xyz．

    因为，所以C(0,0,0)，A(2,0,0)，B1(0,2,4)，，，

．                 ……………………10分

设平面的法向量，则，．

即  ………11分

令，则，即．

又平面MB1C的一个法向量是，

所以．       ……………………12分

由图可知二面角A-MB1-C为锐角，

所以二面角A-MB1-C的大小为． ……………………13分

【解析】略