Question

已知函数（，为正实数）．

（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）求函数的单调区间；

（Ⅲ）若函数的最小值为，求的取值范围．

Answer

【解析】
（Ⅰ）当时，，

则.   ………………………………………………… 2分

   所以.又，因此所求的切线方程为. ………… 4分

（Ⅱ）.   ………………………… 5分

 （1）当，即时，因为，所以，所以函数在上单调递增.  ………………………………………………………………… 6分

 （2）当，即时，令，则（），

    所以.

   因此，当时，，当时，.

所以函数的单调递增区间为，函数的单调递减区间为.    ………………………………………………………………… 10分

（Ⅲ）当时，函数在上单调递增，则的最小值为，满足题意.       ………………………………………………………………… 11分

 当时，由（Ⅱ）知函数的单调递增区间为，函数的单调递减区间为，则的最小值为，而，不合题意.

所以的取值范围是. ………………………………………………… 13分

【解析】略