Question

（本小题满分12分）设， ．

（1）当时，求曲线在处的切线方程；

（2）如果存在，，使得成立，求满足上述条件的最大整数；

（3）当时，证明对于任意的，都有成立．

Answer

【解析】
（1）当时，，。

∴，。

∴在处的切线方程为。………………………3分

（2）存在，，使得成立。

如下表，对照，。

0

（0，）

（，2）

2

0

-

0

+

8

-3

递减

极（最）小值

递增

1

由上表可知，

。 。

∴满足条件的最大整数M=4。                   ………………………7分

（3）由（2）知，在区间 上，的最大值为

∵）当时，且时，，

记，，。

当，；

当，；

∴函数在区间上递减，在区间上递增。

∴，即。

即当时，且时，成立。

∴∴。

即当时，对于任意的，都有成立。……………12分

【解析】略