Question

在直角梯形PBCD中A为PD的中点，如下左图。，将沿AB折到的位置，使，点E在SD上，且，如下右图。

 （1）求证：平面ABCD；（2）求二面角E—AC—D的正切值．

Answer

【解析】
（1）证明：在图中，由题意可知，

    为正方形，所以在图中，，

    四边形ABCD是边长为2的正方形，

    因为，ABBC，

    所以BC平面SAB，………………………3分

    又平面SAB，所以BCSA，又SAAB，

    所以SA平面ABCD，………………………6分

（2）解法一： 在AD上取一点O，使，连接EO。

    因为，所以EO//SA…………………………7分

    所以EO平面ABCD，过O作OHAC交AC于H，连接EH，

    则AC平面EOH，所以ACEH。

    所以为二面角E—AC—D的平面角，………………………9分

    在中，…11分

    ，即二面角E—AC—D的正切值为………12分

解法二：如图，以A为原点建立直角坐标系，

    ……………7分

    易知平面ACD的法向为

    设平面EAC的法向量为

    ……………………9分

    由，所以，可取

    所以………………………………11分

所以

所以,即二面角E—AC—D的正切值为…………12分

【解析】略