Question

已知数列{a_n}的前n项和，数列为等比数列，且首项b₁和公比q满足：

(I)求数列的通项公式;

(II)设，记数列的前n项和，若不等式对任意恒成立,求实数的最大值.

Answer

（Ⅰ）当n=1时，a1=S1=5．

当n≥2时an=Sn-Sn-1=n2+4n-(n-1)2-4(n-1)=2n+3，

验证n=1时也成立．

∴数列{an}的通项公式为：an=2n+3（n∈N*）．

∵

∴  解得：b1=2，q=3．

∴数列{bn}的通项公式为：bn=2·3n-1．……………………………………5分

（Ⅱ）∵ ，

∴ Tn= c1+ c2+ c3+…+ cn

=3+2·32+3·33+……+n·3n················ ①

3Tn=32+2·3n+3·34+……+n·3n+1·············· ②

由①-②得：-2Tn=3+32+……+3n-n·3n+1

=

，

∴ ．………………………………………………………8分

不等式λ(an-2n)≤4Tn可化为λ≤(2n-1)·3n+1，（*）

设f (n)=(2n-1)·3n+1，

易知函数f (n)在n∈N*上单调递增，

故当n=1时(2n-1)·3n+1取得最小值为4，

∴由题意可知：不等式(*)对一切n∈N*恒成立，只需λ≤4．

∴实数λ的最大值为4．

【解析】略