Question

已知椭圆的左、右焦点分别为,离心率,A为右顶点,K为右准线与X轴的交点，且.

(I)求椭圆的标准方程；

(II )设椭圆的上顶点为B，问是否存在直线l,使直线l交椭圆于C，D两点，且椭圆的左焦点巧恰为ΔBCD的垂心?若存在,求出l的方程_r若不存在,请说明理由.

Answer

（Ⅰ）设焦点坐标为F1(-c，0)，F2(c，0)，

由，得．    ①

由题知 A(a，0)，K(，0)，

∴ =(c-a，0)，=(-a，0)，

由得 ②

由①、②解得，c=1，从而b2=a2-c2=1，即b=1．

∴ 椭圆方程为．……………………………………………………4分

（Ⅱ）假设存在直线l满足题意，B(0，1)，F1(-1，0)，

于是直线F1B的斜率为．

由于BF1⊥CD，令l：y=-x+m，代入x2+2y2=2整理，得

3x2-4mx+2m2-2=0.

令C(x1，y1)，D(x2，y2)，则

又=(x1+1，y1)·(x2，y2-1)

=x1x2+x2+y1y2-y1

=x1x2+x2+(m-x1)(m-x2)-(m-x1)

=2x1x2+m2-m(x1+x2)-m+(x1+x2)

=2x1x2 +(1-m)(x1+x2) +m2-m，

由，代入x1+x2，x1x2得，

整理得3m2+m-4=0，

解得m=1或．……………………………………………………………10分

当m=1时，直线l恰过B点，于是B、C、D不构成三角形，故m=1舍去．

当的，满足Δ=8(3-m2)>0．

故所求的直线l为：，即3x+3y+4=0．

【解析】略