Question

已知函数

(I)若直线l₁交函数f(x)的图象于P,Q两点，与l₁平行的直线与函数的图象切于点R,求证 P,R,Q三点的横坐标成等差数列;

(II)若不等式恒成立,求实数a的取值范围；

(III)求证:〔其中, e为自然对数的底数）

Answer

（Ⅰ），设切点R(x0，y0)

则．

令l2：y=(-4x0+4)x+b．

联立  消去y得 2x2-4x0x+b=0．

令P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1+x2=2x0，

即R、R、Q三点的横坐标成等差数列．  ……………………………………4分

（Ⅱ）由已知有f (x)+g(x)-4x=-2x2+alnx≤0恒成立，

令F(x)=2x2-alnx(x>0)，

则.

由，得.

当0