Question

如图，AE⊥平面ABC，AE∥BD，AB＝BC＝CA＝BD＝2AE＝2，F为CD中点．

（Ⅰ）求证：EF⊥平面BCD；

（Ⅱ）求二面角C－DE－A的大小；

（Ⅲ）求点A到平面CDE的距离．

Answer

（Ⅰ）取BC中点G点，连接AG，FG，∵F，G分别为DC，BC中点，

∴FG∥BD且FG＝BD，又AE∥BD且AE＝BD，∴AE∥FG且AE＝FG，

∴四边形EFGA为平行四边形，则EF∥AG，∵AE⊥平面ABC，AE∥BD，

BD⊥平面ABC，又∵DB平面BCD，平面ABC⊥平面BCD，

∵G为 BC中点，且AC=AB，∴AG⊥BC，∴AG⊥平面BCD，

∴EF⊥平面BCD．····························· 4分

（Ⅱ）取AB的中点O和DE的中点H，分别以、、所在直线为x、y、z轴建立如图空间直角坐标系，则，，，，，．设面CDE的法向量，则

取，······· 6分

取面ABDE的法向量，············· 7分

由，

故二面角C－DE－A的大小为．········· 8分

（Ⅲ）由（Ⅱ），面CDE的法向量，，

则点A到平面CDE的距离

【解析】略