Question

已知数列的前n项和为，，且()，数列满足，，对任意，都有．

（Ⅰ）求数列、的通项公式；

（Ⅱ）令，若对任意的，不等式恒成立，试求实数λ的取值范围．

Answer

（Ⅰ）∵，∴ ()，两式相减得，，

∴，即，∴()，

满足上式，故数列的通项公式()．··········· 4分

在数列中，由，知数列是等比数列，首项、公比均为，

∴数列的通项公式．（若列出、、直接得而没有证明扣1分）···· 6分

（Ⅱ）∴     ①

∴          ②

由①-②，得，

∴，·························· 8分

不等式即为，

即（）恒成立．··············· 9分

方法一、设（），

当时，恒成立，则满足条件；

当时，由二次函数性质知不恒成立；

当时， 由于，则在上单调递减，恒成立，则满足条件．

综上所述，实数λ的取值范围是．··············· 12分

方法二、也即（）恒成立，·············· 9分

令．则，·· 10分

由，单调递增且大于0，∴单调递增，当时，，且，故，∴实数λ的取值范围是．

【解析】略