Question

设函数，函数（其中，e是自然对数的底数）．

（Ⅰ）当时，求函数的极值；

（Ⅱ）若在上恒成立，求实数a的取值范围；

（Ⅲ）设，求证：（其中e是自然对数的底数）．

Answer

（Ⅰ），函数，，当时，；当时，，故该函数在上单调递增，在上单调递减．∴函数在处取得极大值．   4分

（Ⅱ）由题在上恒成立，∵，，∴，

若，则，若，则恒成立，则．

不等式恒成立等价于在上恒成立，··· 6分

令，则，

又令，则，∵，．

①当时，，则在上单调递减，∴，

∴在上单减，∴，即在上恒成立；·· 7分

②当时，．

ⅰ）若，即时，，则在上单调递减，∴，∴在上单调递减，∴，此时在上恒成立；······· 8分

ⅱ）若，即时，若时，，则在上单调递增，∴，∴在上也单调递增，

∴，即，不满足条件．··············· 9分

综上，不等式在上恒成立时，实数a的取值范围是．··· 10分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当时，则，

当时，，令，则，

∴，∴，∴，··· 12分

又由（Ⅰ）得，即，当x＞0时，，∴，

，

综上得，即

【解析】略