Question

（本小题满分13分）如图，三棱柱ABC—A₁B₁C₁的所有棱长都是2，又平面

ABC，D、E分别是AC、CC₁的中点。

（1）求证：平面A₁BD；

（2）求二面角D—BA₁—A的余弦值；

（3）求点B₁到平面A₁BD的距离。

Answer

（Ⅰ）证明：以DA所在直线为轴，过D作AC 的垂线为轴，DB所在直线为轴建立空间直角坐标系

则A(1,0,0),C(),E()，A1(),C1()，B()

，,

∵ ∴    ………………………………………………2分

 ∴   …………………………………………4分

又A1D与BD相交

∴AE⊥面A1BD             ……………………………………………………………5分

（其它证法可平行给分）

(Ⅱ)设面DA1B的法向量为

由,，取……………………………7分

设面AA1B的法向量为，

则由，取 ………………9分

故二面角的余弦值为       …………………………………10分

（Ⅲ）,平面A1BD的法向量取

则B1到平面A1BD的距离为    …………………………13分

【解析】略