Question

（本小题满分14分）已知函数，，它们的图象在处有相同的切线．

（Ⅰ）求与的解析式；

（Ⅱ）讨论函数的单调区间；

（Ⅲ）如果在区间上是单调函数，求实数的取值范围．

Answer

19．

（I）f’(x)=3x2+a   g’(x)=4x

k=g’(1)=4=f’(1)=3+a

∴a=1       f’(x)=3x2+1 f(x)=x3+x

∴（1，2）  ∴b=0

∴g(x)=2x2  f(x)=x3+x

（II）G(x)=x3+x+2tx2+(t2-1)x+1

               =x3+2tx2+t2x+1

G’(x)=3x2+4tx+t2

令G’(x)=0

3x2+4tx+t2=0

(3x+t)(x+t)=0

x1=  x2=-t

若t>0       >-t

x

(-, -t)

-t

(-t, )

(, +)

y'

+

0

-

0

+

y

极大值

极小值

∴f(x)在(-, -t)    (-t, )    (, +)

若t<0       <-t

x

(-,)

(, -t)

-t

(-t, +)

y'

+

0

-

0

+

y

↑

极大值

↓

极小值

↑

∴f(x)在(-,)↑    (-t, +)↑ (, -t) ↓

（III）F(x)=x3+x-m(2x2)

                =x3-2mx2+x

F’(x)=3x2-4mx+1

即x∈[, 3]时 F’(x)≠0

x∈[, 3]时 F’(x)≥0或F’(x)≤0

3x2-4mx+1≥0

4mx≤3x2+1

m≤

∴m≤

或3x2-4mx+1≤0

m≥

∴m取值范围为{m| 或m≤}

【解析】略