Question

（本小题满分12分）

如图所示的几何体是由以正三角形为底面的直棱柱

被平面所截而得． ，为的中点．

（Ⅰ）当时，求平面与平面的夹角的余弦值；

（Ⅱ）当为何值时，在棱上存在点，使平面？

Answer

（1）分别取、的中点、，连接、．

以直线、、分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，，则、、的坐标分别为（1，0，1）、（0，，3）、（-1，0，4），

 ∴=（-1，，2），=（-2，0，3）

设平面的法向量，

由得

，可取      

平面的法向量可以取           

∴        

∴平面与平面的夹角的余弦值为．

（2）在（1）的坐标系中，，=（-1，，2），=（-2，0，-1）．

因在上，设，则

∴

于是平面的充要条件为

由此解得，          

即当=2时，在上存在靠近的第一个四等分点，使平面．

【解析】略