Question

（本小题满分12分）设是函数的一个极值

点.

（1）求与的关系式（用表示），并求的单调区间；

（2）设，.若存在使得成立，

求的取值范围.

Answer

【解析】
（Ⅰ）f `(x)＝－[x2＋(a－2)x＋b－a ]e3－x,

由f `(3)=0，得 －[32＋(a－2)3＋b－a ]e3－3＝0，即得b＝－3－2a，---------------2分

则 f `(x)＝[x2＋(a－2)x－3－2a－a ]e3－x

＝－[x2＋(a－2)x－3－3a ]e3－x＝－(x－3)(x＋a+1)e3－x.

令f `(x)＝0，得x1＝3或x2＝－a－1，由于x＝3是极值点，

所以，那么a≠－4.

当a<－4时，x2>3＝x1，则

在区间（－∞，3）上，f `(x)<0， f (x)为减函数；

在区间（3，―a―1）上，f `(x)>0，f (x)为增函数；

在区间（―a―1，＋∞）上，f `(x)<0，f (x)为减函数.-----------------------4分

当a>－4时，x2<3＝x1，则

在区间（－∞，―a―1）上，f `(x)<0， f (x)为减函数；

在区间（―a―1，3）上，f `(x)>0，f (x)为增函数；

在区间（3，＋∞）上，f `(x)<0，f (x)为减函数.-------------------------------6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a>0时，f (x)在区间（0，3）上的单调递增，在区间（3，4）上单调递减，那么f (x)在区间[0，4]上的值域是[min{f (0)，f (4) }，f (3)]，

而f (0)＝－（2a＋3）e3<0，f (4)＝（2a＋13）e－1>0，f (3)＝a＋6，

那么f (x)在区间[0，4]上的值域是[－（2a＋3）e3，a＋6].--------------------8分

又在区间[0，4]上是增函数，

且它在区间[0，4]上的值域是[a2＋，（a2＋）e4]，-----------------10分

由于（a2＋）－（a＋6）＝a2－a＋＝（）2≥0，所以只须仅须

（a2＋）－（a＋6）<1且a>0，解得0