Question

已知函数，其中.

 (Ⅰ) 求函数的极小值点；

（Ⅱ）若曲线在点处的切线都与轴垂直，问是否存在常数，使函数在区间上存在零点？如果存在，求的值：如果不存在，请说明理由.

Answer

(Ⅰ)  

    令得到.

(1) 当时,在定义域单调递增,没有极小值点.

(2)当时,当变化时，的变化情况如下表：

-

极大值

极小值

所以                    是函数的极大值点. 是函数的极小值点.

(3) 当时,的变化情况如下表：

-

极大值

极小值

所以是函数的极大值点. 是函数的极小值点.

综合上述.当时， 是函数的极小值点. 当时,  是函数的极小值点.-------6分

（Ⅱ）若曲线上有两点，处的切线都与轴垂直，则，由（Ⅰ）的讨论知，或，

，.

若函数在区间上存在零点，且单调,所以.

即.所以.

故.

下面证明此不等式不成立.

令，则，

于是当，所以，在单调递增，在单调递减，所以函数在取得最大值.

所以,所以.故不存在满足要求的常数.

【解析】略