Question

（本小题满分12分）

一个口袋中装有大小相同的个红球（且）和个白球，一次摸奖从中摸两个球，两个球的颜色不同则为中奖。

（Ⅰ）试用表示一次摸奖中奖的概率；

（Ⅱ）记从口袋中三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率为，求的最大值？

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，将个白球全部取出后，对剩下的个红球全部作如下标记：记上号的有个（），其余的红球记上号，现从袋中任取一球。表示所取球的标号，求的分布列、期望和方差。

Answer

（Ⅰ）一次摸奖从个球中任取两个，有种方法。

它们是等可能的，其中两个球的颜色不同的方法有种，

一次摸奖中奖的概率为.……3′

（Ⅱ）设每次摸奖中奖的概率为，三次摸奖中恰有一次中奖的概率是：

（）.

对的导数……5′

因而在上为增函数，在上为减函数。

∴当，即，时，.……… 7′

（Ⅲ）由（Ⅱ）知：记上号的有个红球，从中任取一球，有种取法，它们是等可能的.故的分布列是：

.……9′

.…12

【解析】略