Question

(13分)已知函数f(x)＝ax＋(x≠0，常数a∈R).

(1)讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由；

(2)若函数f(x)在x∈[3，＋∞)上为增函数，求a的取值范围.

Answer

【解析】
(1)定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称.

当a＝0时，f(x)＝，满足对定义域上任意x，f(－x)＝f(x)，

∴a＝0时，f(x)是偶函数；

当a≠0时，f(1)＝a＋1，f(－1)＝1－a，

若f(x)为偶函数，则a＋1＝1－a，a＝0矛盾；

若f(x)为奇函数，则1－a＝－(a＋1),1＝－1矛盾，∴当a≠0时，f(x)是非奇非偶函数.

(2)任取x1>x2≥3，f(x1)－f(x2)＝ax1＋－ax2－

＝a(x1－x2)＋＝(x1－x2)(a－).

∵x1－x2>0，f(x)在[3，＋∞)上为增函数，

∴a>，即a>＋在[3，＋∞)上恒成立.

∵＋<，∴a≥.

【解析】略