Question

(本题13分)

已知f(x)＝lnx＋x²－bx.

(1)若函数f(x)在其定义域内是增函数，求b的取值范围；

(2)当b＝－1时，设g(x)＝f(x)－2x²，求证函数g(x)只有一个零点．

Answer

解:(1)∵f(x)在(0，＋∞)上递增，

∴f ′(x)＝＋2x－b≥0，对x∈(0，＋∞)恒成立，

即b≤＋2x对x∈(0，＋∞)恒成立，

∴只需b≤min (x>0)，

∵x>0，∴＋2x≥2，当且仅当x＝时取“＝”，

∴b≤2，

∴b的取值范围为(－∞，2]．

(2)当b＝－1时，g(x)＝f(x)－2x2＝lnx－x2＋x，其定义域是(0，＋∞)，

∴g′(x)＝－2x＋1

＝－＝－，

令g′(x)＝0，即－＝0，

∵x>0，∴x＝1，

当00；当x>1时，g′ (x)<0，

∴函数g(x)在区间(0,1)上单调递增，在区间(1，＋∞)上单调递减，

∴当x≠1时，g(x)