Question

（本小题满分13分）

设函数。

(1)求的单调区间；

(2)若当时,(其中)不等式恒成立,求实数的取值范围；

(3)试讨论关于的方程:在区间上的根的个数。

Answer

【解析】
（1）函数的定义域为.  

 由得;   由得,                               

则增区间为,减区间为.                                   

(2)令得,由(1)知在上递减,在上递增,    由,且,    

时, 的最大值为,故时,不等式恒成立. 

(3)方程即.记,则.由得;由得.

所以g(x)在[0,1]上递减，在[1，2]上递增.而g(0)=1，g(1)=2-2ln2，g(2)=3-2ln3，∴g(0)＞g(2)＞g(1) 。

所以，当a＞1时，方程无解；当3-2ln3＜a≤1时，方程有一个解；当2-2ln2＜a≤a≤3-2ln3时，方程有两个解；当a=2-2ln2时，方程有一个解；当a＜2-2ln2时，方程无解.                                             

综上所述，a时，方程无解；

或a=2-2ln2时，方程有唯一解；

时，方程有两个不等的解

【解析】略