Question

（本小题满分１２分）

        如图，在直三棱柱中，、分别为、的中点。

    （I）证明：ED为异面直线与的公垂线；

    （II）设求二面角的大小。

Answer

Ⅰ）设O为AC中点，连结EO，BO，则EO又，所以EODB，

EOBD为平行四边行，ED∥OB。                             ……2分

∵AB=BC，∴RO⊥AC，

又平面ABC⊥平面ACC1A1，BO面ABC，故BO⊥平面ACC1A1，

∴ED⊥平面ACC1A1，ED⊥AC1、ED⊥CC1，

∴ED⊥BB1，ED为异面直线AC1与BB1的公垂线。         ……6分

（Ⅱ）连结A1E，由AA1=AC=AB可知，A1ACC1为正方形，

∴A1E⊥AC1，又由ED⊥平面A1ACC1和ED平面ADC1知平面ADC1⊥平面A1ACC1，

∴A1E⊥平面ADC1，作EF⊥AD，垂足为F，连结A1F，则A1F⊥AD,∠A1FE为二面角的平面角。

不妨设AA1=2，

则AC=2，AB=，ED=OB=1，EF=，

∴∠A1EF=60O。

所以二面角为60O。                                     ……12分

    解法二：

（Ⅰ）如图，建立直角坐标系O-xyz，其中原点O为AC的中点。

设A（a,0,0）,B(0,b,0),B1(0,b,2c).

则C（  ……3分

又        

所以ED是异面直线BB1与AC1的公垂线。        ……6分

（Ⅱ）不妨设A（1，0，0）

则B（0，1，0），C（-1，0，0），A（1，0，2），

∴         BC⊥面A1AD.

又        

∴         EC⊥面C1AD.                                           ……10分

          的夹角为600 

所以二面角为60°。                                     ……12

【解析】略