Question

（本题满分12分）已知a为常数，且a≠O，函数f(x)=ax+axlnx+2.

  (1)求函数f(x)的单调区间；

  (2)当a=1时，若直线y=t与曲线y=f(x)（z∈[]有公共点，求t的取值范围，

Answer

【解析】
(1)f(x)＝－ax＋2＋axlnx.    定义域为

f′(x)＝alnx. …………………… 2分

因为a≠0，故：

①当a>0时，由f′(x)>0得x>1，由f′(x)<0得00得01.

综上，当a>0时，函数f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1)；

当a<0时，函数f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)． ……… 6分

(2)当a＝1时，f(x)＝－x＋2＋xlnx，f′(x)＝lnx.

由(1)可得，当x在区间内变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

x

1/e

（1/e,1）

1

(1，e)

e

f′(x)

－

0

＋

f(x)

2－2/e

单调递减

极小值1

单调递增

2

又2－2/e<2，所以函数f(x)的值域为[1,2]． …………………… 10分

∵直线y＝t与曲线y＝f(x)总有公共点；

∴t的取值范围是． ………………………………… 12分

【解析】略