Question

已知：向量，O为坐标原点，动点M满足：.

(1)  求动点 M 的轨迹 C 的方程；

（2）已知直线、都过点，且，、与轨迹C分别交于点D、E.是否存在这样的直线、,使得△BDE是等腰直角三角形?若存在，指出这样的直线共有几组(无需求出直线的方程)；若不存在，请说明理由.

Answer

设点，则         ……  1分

∵  

∴   ……… ……… ………  2分

∴点 M 的轨迹C是以为焦点，长轴长为 4 的椭圆……… ……  ……… 4分

∴   ∴    

∴  动点M 的轨迹 C的方程为    ………  ………  ………  6分

(2)由（1）知，轨迹C是椭圆，点是它的上顶点，             

设满足条件的直线、存在，直线的方程为  ①

则直线的方程为，② ………  ………  ……… 7分

将①代入椭圆方程并整理得：，可得，则.

将②代入椭圆方程并整理得：，可得，则.

由△BDE是等腰直角三角形得

  …………11分

∴或    ④…………………………………………12分

∵方程④或.

∴即满足条件的直线、存在，共有3组．

【解析】略