Question

正△ABC的边长为4，CD是AB边上的高，E，F分别是AC和BC边的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A—DC—B。

（I）试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；

（II）求二面角E—DF—C的余弦值；

（III）在线段BC上是否存在一点P，使AP⊥DE？证明你的结论。

Answer

解法一：（Ⅰ）如图：在中，由分别是和边的中点，得，

又平面，平面．        ∴平面．   …………4分

（Ⅱ）， ∴是二面角的平面角，，得平面．

取的中点，连接，则，   ∴平面，过作于点，连接，则根据三垂线定理知，∴就是二面角的平面角．

在中，，，∴，．………8分

（Ⅲ）在线段上存在点，使，证明如下：

在线段上取点，使，过作与点，连，则平面，，于是有，在中，，；又∵是正三角形，∴，∴．………13分

法二：（Ⅰ）同解法一．

（Ⅱ）以点为坐标原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则，，，，．

显然平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，则，即，令得，． ，所以二面角的余弦值为．

（Ⅲ）设，由，得． 又，，，；将代入上式，得，，所以在线段上存在点，使．

【解析】略