Question

已知函数

（I）求的极小值；

（II）若上为单调增函数，求m的取值范围；

（III）设（e是自然对数的底数）上至少存在一个成立，求m的取值范围。

Answer

（Ⅰ）由题意，，，∴当时，；当时，，所以，在上是减函数，在上是增函数，故．  …………4分

（Ⅱ） ，，由于在内为单调增函数，所以在上恒成立，即在上恒成立，故，所以的取值范围是．               …………8分

（Ⅲ）构造函数，

当时，由得，，，所以在上不存在一个，使得．               …………………………………………10分

当时，，因为，所以，，所以在上恒成立，故在上单调递增，，所以要在上存在一个，使得，必须且只需，解得，故的取值范围是．   …………………13分

另法:（Ⅲ）当时，．

当时，由，得 ， 令，则，所以在上递减，．

综上，要在上存在一个，使得，必须且只需．

【解析】略