Question

如图，在直三棱柱中，，，分别为，的中点，四边形是边长为的正方形．

（Ⅰ）求证：∥平面；

（Ⅱ）求证：平面；

（Ⅲ）求二面角的余弦值．

Answer

（Ⅰ）证明：连结，与交于点，连结．因为，分别为和的中点，所以∥．又平面，平面，

所以∥平面．             ……………………4分

（Ⅱ）证明：在直三棱柱中，平面，又平面，所以．因为，为中点，所以．又，

所以平面．又平面，所以．

因为四边形为正方形，，分别为，的中点，

所以△≌△，． 所以．

所以．

又，所以平面．                ……………………8分

（Ⅲ）【解析】
如图，以的中点为原点，建立空间直角坐标系．

则．

由（Ⅱ）知平面，所以为平面的一个法向量．

设为平面的一个法向量，

，．

由可得

令，则．

所以．

从而．

因为二面角为锐角，

所以二面角的余弦值为．………12分

【解析】略