Question

已知函数

（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）若函数在其定义域内为增函数，求正实数的取值范围；

（Ⅲ）若，且至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围.[

Answer

（1）当时，函数

曲线在点处的切线的斜率为从而曲线在点处的切线方程为即…………………………………4分

（2）令

要使在定义域内是增函数，只需………………………6分

即故正实数的取值范围是………8分

（3）在上是减函数，时，时，即…………………………………………………10分

①当时，其图象为开口向下的抛物线，对称轴在轴的左侧，且，所以在内是减函数.当时，，因为所以此时，在内是减函数.故当时，在上单调递减不合题意；…………………………………12分

②当时，由（2）知在上是增函数，又在上是减数，故只需而即解得所以实数的取值范围是.

【解析】略